Úloha z matematiky - stredná škola
"V obchode majú 3 druhý kávy v balení po 50 gramov. Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme kúpiť 200gramov kávy?"
Vedel by toto niekto vypočítať a vysvetliť v skratke?
Stručné zhrnutie
- Pri 3 druhoch kávy v balení po 50 g a potrebe 200 g (4 balenia) je počet rôznych nákupov 15, čo je výsledok kombinácií s opakovaním.
- Počet sa vypočítava vzorcom pre kombinácie s opakovaním (n+k-1)!/((n-1)!×k!) s n=3 a k=4, teda 6!/(2!×4!) = 15.
- Úlohu možno riešiť aj metódou palíc a očiek (rozloženie 4 „o“ a 2 deliace znaky), alebo systematickým kreslením a vypisovaním všetkých možností, čo je bežný prístup na ZŠ.
Q: Ako vypočítam počet spôsobov nákupu 200 g kávy z 3 druhov v balení po 50 g?
A: Prepočítajte počet balení: 200/50 = 4 (k=4), použite vzorec kombinácií s opakovaním (n+k-1)!/((n-1)!×k!) s n=3, k=4; to je 6!/(2!×4!) = 15.
Q: Prečo použiť kombinácie s opakovaním v tejto úlohe a nie permutácie?
A: Pretože poradie balení nezáleží (kava1,kava2,kava1,kava3 sa považuje za rovnakú kombináciu) a povolené sú opakovania, čo práve definujú kombinácie s opakovaním.
Q: Ako funguje metóda palíc a očiek (stars-and-bars) na tento príklad?
A: Zoberiete 4 symboly „o“ a 2 deliace znaky „|“ do radu (4+2 = 6 pozícií) a spočítate, koľko spôsobov je umiestniť 2 deliace znaky medzi 6 pozíciami, teda kombináciu C(6,2) = 15.
Q: Aké konkrétne možnosti vypísať manuálne slúžia na kontrolu výsledku?
A: Manuálne možno vypísať 15 možností, napríklad: 1111, 1112, 1113, 1122, 1123, 1133, 1222, 1223, 1233, 1333, 2222, 2223, 2233, 2333, 3333.
Q: Ktoré vyučovacie metódy sa odporúčali v diskusii pre rôzne vekové skupiny?
A: Diskutovalo sa, že na ZŠ sa často používa systematické kreslenie a vypisovanie možností, zatiaľ čo na SŠ sa zavádzajú a používajú všeobecné vzorce kombinácií s opakovaním.
Q: Aký je vzťah medzi kombináciami C(6,2) a C(6,4) v tejto úlohe?
A: C(6,2) a C(6,4) sú numericky rovnaké; C(6,2) = C(6,4) = 15, pretože výber pozícií pre 2 deliace znaky alebo 4 „o“ vedie k rovnakému počtu rozdelení.
Závery z diskusie
Zhoda
- Správny výsledok pre danú úlohu je 15 spôsobov.
- Vzorec kombinácií s opakovaním (n+k-1)!/((n-1)!×k!) a metóda palíc a očiek vedú k rovnakému kombinatorickému číslu (C(6,2)=15).
- Na ZŠ sa často odporúča vysvetľovať kombinatoriku rozkresľovaním alebo systematickým vypisovaním možností.
Sporné názory
- Niektorí odporúčajú učiť kombinatoriku rozkresľovaním a vypisovaním na ZŠ, zatiaľ čo iní preferujú zavádzanie vzorcov a symbolického počítania už na SŠ.
- Niektorí považujú takéto matematické úlohy za zbytočné v bežnom živote, zatiaľ čo iní tvrdia, že rozvíjajú logické myslenie a sú využiteľné v povolaniach ako programátor alebo projektový manažér.
Otvorené otázky
- Kedy (v ktorom ročníku) je najvhodnejšie zavádzať vzorce kombinatoriky do školských osnov?
- Ktorý vyučovací prístup (systematické vypisovanie vs. zavedenie vzorca) vedie k lepšiemu dlhodobému pochopeniu kombinatoriky u žiakov?
Spomenuté značky a firmy
SAV,ZŠ,SŠ
Spomenuté produkty a metódy
kombinacie s opakovanim,(n+k-1)!/((n-1)!×k!),kombinacne cislo 6 nad 2 (C(6,2)),metóda palíc a očiek,systematické vypisovanie/kreslenie možností,rozpisovanie možností
Miesta a osoby
Slovensko
Kombinacie s opakovanim, pouzi vzorec. n=3 (pretoze 3 druhy kavy), k=4 (pretoze musis kupit 4 balenia po 50 gramoch a to je 200 gramov). Vzorec pre kombinacie s opakovanim je (n+k-1)!/((n-1)!×k!), kde vykricnik je faktorial. Ked si dosadis n a k, tak dostanes 6!/(2!×4!). 6!=720, 2!=2, 4!=24. Takze dostanes 720/(2×24)=15.
Myslim ze su to kombinacie s opakovanim. Je potrebne vybrat 4 druhy (200:50 = 4). A jeden druh kavy sa bude opakovat - preto s opakovanim. Kombinacie preto lebo nezalezi na poradi - kava1, kava2, kava3, kava1 je to iste ako kava1, kava1, kava2, kava3
Ak máš z toho chaos, možno pomôže si to nakresliť, pri týchto stredoškolských to väčšinou celkom postačí. (Každý druh kávy má inú farbu - treba nakresliť všetky možné štvorice z troch farieb)
A teraz mne vysvetlite KDE v zivote toto clovek moze vyuzit? Ale fakt sa zaujimam kde moje dieta bude toto, sposobom vysvetlenym v prvom komente, vyuzivat? Za predpokladu ze nebude matematik ani pracovat na SAVke... dakujem
@greta2017 Tvoje dieta mozno chodi do triedy s buducim matematikom, ten by si zase mohol povedat, ze naco mu raz bude to, co bude potrebovat Tvoje dieta. Na kazde ulohy je iny vhodny vek, ktory ked sa nestihne, tak sa to potom uci horsie. Navyse, konkretne pri takychto ulohach sa trenuje kombinatoricke myslenie, ktore by sa hodilo nielen matematikom. A pokial to vie ucitel dobre vysvetlit, tak toto su jednak velmi zabavne ulohy a nie je to nic zlozite.
Tato uloha sa da vysvetlit aj tak, ze mam tri druhy cajov, napr. a, b, c. Predstavim si, ze mam nejaku policku, kde si tie caje oddelim nejakymi priehradkami, takto: a|b|c-teda mi stacia dve priehradky na taketo odlisenie cajov. A svoj nakup mozem zakreslit napr. takto: o|oo|o, co znamena, ze z prveho druhu som vzala jedno balenie, z druheho dve balenia a z tretieho jedno (pocet "o" je pocet baleni v jednotlivych oddeleniach) a dalsi nakup moze vyzerat takto: oooo||, teda z prveho druhu zoberiem vsetky styri caje. A teda mam 4+3 objekty (7 objektov) a otazka je, kolko mam moznosti na umiestnenie tych 3 paliciek, alebo naopak tych 4 guliciek (o-ciek). A to je presne kombinacne cislo 7 nad 3, alebo 7 nad 4 (v oboch pripadoch je vysledok rovnaky). A nemusim ani vediet, ze su to kombinacie s opakovanim, staci ak viem, co reprezentuju kombinacne cisla.
@greta2017 je vela veci, ktore patria k vseobecnemu rozhladu. Toto je jedna z nich. Mne osobne su uplne zbytocne derivacie, integraly, goniometria. Muz zase integraly v praci uz vyuzil.
@dskjhfdlkdjhl To co popisujes - zakreslenie paliciek a ociek je kombinacia bez opakovania. Vyberas dve pozicie (palicky) zo siestich. Alebo naopak, styri pozicie (ocka) zo siestich.
@kate211 ano, ale presne takto sa ta uloha da vyriesit aj bez toho, aby clovek vedel, ze sa jedna o kombinacie s opakovanim. Takto sa ma postupovat, ak uz dieta vie kombinacie bez opakovania (teda vyznam komb. cisla) a chceme mu vysvetlit kombinacie s opakovanim. Moje riesenie je uplne spravne. A myslim, ze pokial sa to takto uci, tak deti s kombinatorikou nemaju problemy-ono totiz vobec nie je nutne, aby deti vedeli, ze sa jedna o komb. s opakovanim a vedeli dosadit do vzorca (mimochodom, zvycajne si potom mylia k a n, co pri mojom postupe nehrozi), ale vedeli riesit problemy.
Jo, mam tam jednu chybu-mala som tam dve palicky a pisem o troch-takze ano, tejto chyby som sa v rychlosti dopustila, teraz sa mi do toho textu uz vstupit neda, ale snad pomoze, ked to upravim sem:
A teda mam 4+2 objekty (6 objektov) a otazka je, kolko mam moznosti na umiestnenie tych 2 paliciek, alebo naopak tych 4 guliciek (o-ciek). A to je presne kombinacne cislo 6 nad 2, alebo 6 nad 4 (v oboch pripadoch je vysledok rovnaky).
Este raz sa za tuto chybu ospravedlnujem, pisala som to v rychlosti, snazila som sa vysvetlit postup, takze kto ten postup pochopil, vie si aj toto opravit bez precitania tohto prispevku.
@kate211 no, ale predpokladam, ze si aspon na ZS a SS chodila na Slovensku. Ono je to celkom nakoniec aj jedno, kombinatorika a geometria sa obecne ucia zle, lebo mnohi ucitelia matematiky to proste nemaju v oblube, nikdy k tomu neziskali pozit. vztah a tam je cely problem a tento nie je iba slovensky.
@dskjhfdlkdjhl Na cast SS. Vobec neviem posudit, ci maju ucitelia na Slovensku ci vo svete pozitivny alebo negativny vztah ku kombinatorike. Pocujem to prvykrat.
@asfodelka Na ZS len systematickym zapisovanim, teda kreslenim. Systematickym znamena, ze v tom maju nejaky system, aby ziadnu moznost nezabudli, resp. nenakreslili viackrat.
@dskjhfdlkdjhl
@amanta5 dakujem za odpovede . Ja som moj koment nemyslela v zlom len sama mam nieco podobne vystudovane a bohuzial nevyuzivam to a to pracujem v obore....
@guiseppinka prosim ta, ak to nie je prilis osobna otazka , cim je tvoj manzel? Ked vyuziva integraly. Dakujem 😊
@greta2017 Nic netreba brat tak, ci presne toto vyuzijem niekedy. Vacsinu veci, ktore sa preberaju na matematike v podstate v beznom zivote nevyuzijes. Ale pokial si bola na matike spravne vedena (teda si mala dobreho ucitela matematiky), tak si sa naucila riesit problemy, premyslat-na ziadnom inom predmete sa asi neda tak dobre formovat log. myslenie. A to v potrebuje v zivote kazdy clovek, aj ked tu na MK (a teraz absolutne nemyslim baby, ktore sa stretli v tejto diskusii, tu su skor vynimky) sa logika hlada velmi tazko😉
Toto je úloha, ktorú vyrieši šikovnejšie dieťa už na prvom stupni. V maturitnom teste bola tento rok podobná. Žiaľ spôsob, ako sa kombinatoriku častokrát učia stredoškoláci ich doslova zablokuje v samostatnom myslení a tápu, kombinácie ? variácie ? s opakovaním, bez ? k, n, p ?
V konečnom dôsledku môže byť na tom lepšie ten študent, ktorý sa ju v škole neučil a použije sedliacky rozum.
@greta2017 jasne, nie je to tajomstvo. Pracuje vo vyvoji auto svetiel... A raz potrebovali nieco s plochami a jednoducho nevedeli to nijakovsky spravit, tak to museli cez integraly riesit a ti "mladi zasrani" stredoskolaci, len kukali, ze to co je... Ale teda denne ich nepouziva🤭
@guiseppinka waaaaw tak to uz ano😊 parada. Lebo ja sa nestretavam s 90% vecami co som sa kedy ucila a stve ma to lebo ma to stalo neskutocnu namahu pocas studia...ale super ked to takto sa da vyuzit👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻
@greta2017 no ja tiez moc z matiky nevyuzivam veci... A napr euklidove vety viem, ze existuju, ale prestupovala som z jednej skoly na druhu v prvaku a nejako sa im vyhla.. lebo na jednej skole sa este neucili a na druhej sa uz ucili... Ale zato vyrokovu logiku som si presla 2x😂
Ďakujem za vysvetlenie
Nakoniec som to urobila spôsobom ako @dskjhfdlkdjhl, ale bez tých predchádzajúcich vysvetlení by mi nedošlo, že to tak ide
@asfodelka ahoj, na ZŠ sme sa to vôbec neučili takto, ja som v druhom ročníku SŠ a dovolím si povedať, že oproti spolužiakom mám dobré zakladky a žiadne vzorce sme nebrali len okienko u metódu a vypisovanie, takže myslím, že to mu stačí
