Matematika - prosím o kontrolu

Stručné zhrnutie

• Pre 4‑ciferné čísla zostavené z číslic {0,1,2,3,4,5,6} bez opakovaní a bez nulového prvého miesta platí 6×6×5×4 = 720 možností.
• Pri počítaní deliteľných čísel treba rozdeliť prípady podľa poslednej cifry; pre deliteľnosť 2 platí: koncové 0 → 6×5×4 = 120, koncové 2,4,6 → pre každú z týchto troch možností platí 100, spolu 420.
• Pri úlohách s 8 ružami a 10 karafiátmi je rozhodujúce, či sú kvety rozlišované; ak sú rozlišované a kytica je neusporiadaná, počet je C(18,5) = 8 568, ak sú rozlišované a záleží na poradí, P(18,5) = 1 028 160, ak sa počíta len podľa počtu ruží v kytici, existuje 6 možností (0–5 ruží).

Najčastejšie otázky

Q: Ako spočítať počet všetkých 4‑ciferných čísel zostavených z číslic 0–6 bez opakovania?
A: Prvá cifra môže byť len z {1,2,3,4,5,6} (6 možností), druhá z 6 zostávajúcich, tretia z 5 a štvrtá z 4, teda 6×6×5×4 = 720.

Q: Ako spočítať počet 4‑ciferných čísel zo súboru {0,1,2,3,4,5,6} deliteľných 2 bez opakovania?
A: Rozdeliť podľa poslednej cifry: ak posledná je 0, počet je 6×5×4 = 120; ak posledná je 2,4 alebo 6, pre každý z týchto prípadov je 6×5×4 − 5×4 = 100; celkovo 120 + 3×100 = 420.

Q: Ako spočítať počet 4‑ciferných čísel z rovnakého súboru deliteľných 5 bez opakovania?
A: Posledná cifra môže byť 0 alebo 5; pre 0 platí 6×5×4 = 120; pre 5 platí 6×5×4 − 5×4 = 100; spolu 220.

Q: Ako spočítať počet 4‑ciferných čísel deliteľných 4 bez opakovania?
A: Vypíšte všetky dvojciferné koncovky z množiny, ktoré sú deliteľné 4 (v diskusii boli uvedené: 04, 24, 64, 20, 40, 60, 12, 32, 52, 16, 36, 56 — 12 možností). Pre koncovky obsahujúce 0 sú pre prvé dve miesta 5×4 = 20 možností, pre ostatné koncovky 16 možností, takže celkovo 4×20 + 8×16 = 208.

Q: Ako vyrátať počet kytíc s 5 kvetmi z 8 ruží a 10 karafiátov, ak sú kvety rozlišované (jedinečné) alebo nerozlišované podľa druhu?
A: Ak sú kvety rozlišované a nezáleží na poradí, použite kombinácie C(18,5) = 8 568; ak záleží na poradí, použite variácie/permutácie P(18,5) = 1 028 160; ak sa nerozlišujú jednotlivé kusy, ale len počet ruží vs karafiátov, potom sú typy kytíc podľa počtu ruží 0–5, teda 6 možností.

Q: Koľko kytíc s 5 kvetmi z 8 ruží a 10 karafiátov má aspoň jednu ružu?
A: Ak sú kvety nerozlišované jednotlivo (kombinácie), počet = C(18,5) − C(10,5) = 8 568 − 252 = 8 316. Ak sú rozlišované a záleží na poradí, počet = P(18,5) − P(10,5) = 1 028 160 − 30 240 = 997 920.

Q: Koľko kytíc obsahuje presne 2 ruže a 3 karafiáty?
A: Ak sa nerieši poradie, počet = C(8,2) × C(10,3) = 28 × 120 = 3 360. Ak záleží aj poradie v kytici (rozdelenie pozícií), počet = C(5,2) × P(8,2) × P(10,3) = 10 × 56 × 720 = 403 200.

Závery z diskusie

Zhoda

• Je nevyhnutné explicitne uviesť, či sú cifry/kvety rozlišované a či sa dovoľuje opakovanie, pretože výsledok sa podľa toho výrazne mení.
• Pri otázkach deliteľnosti sa odporúča rozdeliť počítanie na prípady podľa poslednej cifry alebo posledných dvoch cifier (pre deliteľnosť 2, 5 a 4).
• Pre školské zadania sa v diskusii odporúča zvláštne vysvetliť, či sa má použiť pravidlo súčinu/súčtu, permutácie alebo kombinačné čísla.

Sporné názory

• Pre kytice s 5 kvetmi niektorí navrhovali riešenie ako usporiadané permutácie (P(18,5) = 1 028 160), iní navrhovali kombinácie (C(18,5) = 8 568), a ďalší trvali, že ak sa nerozlišujú jednotlivé kusy, výsledok je len 6 druhov podľa počtu ruží (0–5).
• Pre deliteľnosť 2 sa v diskusii objavili rôzne medzivýpočty; navrhované celkové výsledky boli 400 (nepresné) versus 420 (metodicky odôvodnené).

Otvorené otázky

• Ako presne má byť sformulované školské zadanie kvetov: či kytice sú usporiadané, či sa kvety rozlišujú alebo sú nerozlišované podľa druhu?
• Aký postup očakáva učiteľka pre siedmy ročník: používanie kombinatorických vzorcov (C(n,k), faktoriál) alebo len pravidla súčinu a súčtu bez formálnych vzorcov?

Spomenuté značky a firmy

žiadne

Spomenuté produkty a metódy

kombinácie, permutácie, variácie, pravidlo súčinu a súčtu, kombinačné číslo, faktoriál, P(n,k), C(n,k)

Miesta a osoby

žiadne