Matematika - prosím o kontrolu
Ahojte, prosím o kontrolu príkladov:
1. Koľko je všetkých 4-ciferných čísel zložených z číslic: 0,1,2,3,4,5,6?
výsledok: 6x6x5x4=720
2. Koľko z nich je deliteľných 2?
výsledok: 5x5x4x4=400
3. Koľko je deliteľných 5?
výsledok: 5x5x4x2=200
4. Koľko z nich je deliteľných 4?
čísla deliteľné 4: 04, 24, 64, 20, 40, 60, 12, 32, 52, 16, 36, 56, spolu je to 12
výsledok: 4x3x1x2
5. mám 8 ruží, 10 karafiátov (a tu si nie som vôbec istá, či idem na to dobre)
a) koľko kytíc s 5 kvetmi môžem urobiť? 18x17x16x15x14= 1 028 160
b) koľko z toho takých, v ktorých sú len karafiáty? 10x9x8x7x6= 30 240
c) koľko takých, ktoré majú aspoň 1 ružu?
d) koľko takých ktoré majú 2 ruže a 3 karafiáty? 8x7 + 10x9x8 = 776
úloha 5a, a 5b sa mi vôbec nezdá. ale zadanie nekonkretizuje, či sú ruže rovnaké a karafiáty tiež alebo sú rôznofarebné :(
vie mi niekto poradiť, ako na to?
no a 5c už vôbec netuším. akosi sa mi parí z mozgu 😀
Stručné zhrnutie
- Pre 4‑ciferné čísla zostavené z číslic {0,1,2,3,4,5,6} bez opakovaní a bez nulového prvého miesta platí 6×6×5×4 = 720 možností.
- Pri počítaní deliteľných čísel treba rozdeliť prípady podľa poslednej cifry; pre deliteľnosť 2 platí: koncové 0 → 6×5×4 = 120, koncové 2,4,6 → pre každú z týchto troch možností platí 100, spolu 420.
- Pri úlohách s 8 ružami a 10 karafiátmi je rozhodujúce, či sú kvety rozlišované; ak sú rozlišované a kytica je neusporiadaná, počet je C(18,5) = 8 568, ak sú rozlišované a záleží na poradí, P(18,5) = 1 028 160, ak sa počíta len podľa počtu ruží v kytici, existuje 6 možností (0–5 ruží).
Najčastejšie otázky
Q: Ako spočítať počet všetkých 4‑ciferných čísel zostavených z číslic 0–6 bez opakovania?
A: Prvá cifra môže byť len z {1,2,3,4,5,6} (6 možností), druhá z 6 zostávajúcich, tretia z 5 a štvrtá z 4, teda 6×6×5×4 = 720.
Q: Ako spočítať počet 4‑ciferných čísel zo súboru {0,1,2,3,4,5,6} deliteľných 2 bez opakovania?
A: Rozdeliť podľa poslednej cifry: ak posledná je 0, počet je 6×5×4 = 120; ak posledná je 2,4 alebo 6, pre každý z týchto prípadov je 6×5×4 − 5×4 = 100; celkovo 120 + 3×100 = 420.
Q: Ako spočítať počet 4‑ciferných čísel z rovnakého súboru deliteľných 5 bez opakovania?
A: Posledná cifra môže byť 0 alebo 5; pre 0 platí 6×5×4 = 120; pre 5 platí 6×5×4 − 5×4 = 100; spolu 220.
Q: Ako spočítať počet 4‑ciferných čísel deliteľných 4 bez opakovania?
A: Vypíšte všetky dvojciferné koncovky z množiny, ktoré sú deliteľné 4 (v diskusii boli uvedené: 04, 24, 64, 20, 40, 60, 12, 32, 52, 16, 36, 56 — 12 možností). Pre koncovky obsahujúce 0 sú pre prvé dve miesta 5×4 = 20 možností, pre ostatné koncovky 16 možností, takže celkovo 4×20 + 8×16 = 208.
Q: Ako vyrátať počet kytíc s 5 kvetmi z 8 ruží a 10 karafiátov, ak sú kvety rozlišované (jedinečné) alebo nerozlišované podľa druhu?
A: Ak sú kvety rozlišované a nezáleží na poradí, použite kombinácie C(18,5) = 8 568; ak záleží na poradí, použite variácie/permutácie P(18,5) = 1 028 160; ak sa nerozlišujú jednotlivé kusy, ale len počet ruží vs karafiátov, potom sú typy kytíc podľa počtu ruží 0–5, teda 6 možností.
Q: Koľko kytíc s 5 kvetmi z 8 ruží a 10 karafiátov má aspoň jednu ružu?
A: Ak sú kvety nerozlišované jednotlivo (kombinácie), počet = C(18,5) − C(10,5) = 8 568 − 252 = 8 316. Ak sú rozlišované a záleží na poradí, počet = P(18,5) − P(10,5) = 1 028 160 − 30 240 = 997 920.
Q: Koľko kytíc obsahuje presne 2 ruže a 3 karafiáty?
A: Ak sa nerieši poradie, počet = C(8,2) × C(10,3) = 28 × 120 = 3 360. Ak záleží aj poradie v kytici (rozdelenie pozícií), počet = C(5,2) × P(8,2) × P(10,3) = 10 × 56 × 720 = 403 200.
Závery z diskusie
Zhoda
- Je nevyhnutné explicitne uviesť, či sú cifry/kvety rozlišované a či sa dovoľuje opakovanie, pretože výsledok sa podľa toho výrazne mení.
- Pri otázkach deliteľnosti sa odporúča rozdeliť počítanie na prípady podľa poslednej cifry alebo posledných dvoch cifier (pre deliteľnosť 2, 5 a 4).
- Pre školské zadania sa v diskusii odporúča zvláštne vysvetliť, či sa má použiť pravidlo súčinu/súčtu, permutácie alebo kombinačné čísla.
Sporné názory
- Pre kytice s 5 kvetmi niektorí navrhovali riešenie ako usporiadané permutácie (P(18,5) = 1 028 160), iní navrhovali kombinácie (C(18,5) = 8 568), a ďalší trvali, že ak sa nerozlišujú jednotlivé kusy, výsledok je len 6 druhov podľa počtu ruží (0–5).
- Pre deliteľnosť 2 sa v diskusii objavili rôzne medzivýpočty; navrhované celkové výsledky boli 400 (nepresné) versus 420 (metodicky odôvodnené).
Otvorené otázky
- Ako presne má byť sformulované školské zadanie kvetov: či kytice sú usporiadané, či sa kvety rozlišujú alebo sú nerozlišované podľa druhu?
- Aký postup očakáva učiteľka pre siedmy ročník: používanie kombinatorických vzorcov (C(n,k), faktoriál) alebo len pravidla súčinu a súčtu bez formálnych vzorcov?
Spomenuté značky a firmy
žiadne
Spomenuté produkty a metódy
kombinácie, permutácie, variácie, pravidlo súčinu a súčtu, kombinačné číslo, faktoriál, P(n,k), C(n,k)
Miesta a osoby
žiadne
A v úlohe píšeš o 4 ciferných číslach a zrazu delitelné 4 už vypisuješ úplne iné čísla.
Hned v prvom priklade chyba podstatna informacia-ci sa cislice v tych cislach mozu alebo nemozu opakovat.
@dskjhfdlkdjhl prepáč, nemôžu sa opakovať
@abbey1 v úlohe 4 musíš určiť počet posledných štvorčíslí deliteľných štvorkou. vieš mi poradiť v matematike alebo nie?
prvy priklad Ti poradim, ostatne si skus sama. Ak to maju byt stvorciferne cisla, kde sa cislice neopakuju, tak je 7.6.5.4-7.6.5. Aby si tomu rozumela, tak mas 7.6.5.4 vsetkych moznosti-aj takych, kde si -0 dala na prve miesto, to ale nie su stvorciferne cisla, preto treba odcitat tie cisla, ktore maju na prvom mieste 0 a tych je 7.6.5. Odkial su tie suciny-na prve miesto vyberas zo 7 cisel, na dalsie miesto, kedze sa cifry opakovat nemozu, vyberas uz len zo 6 cisel a takto ides dalej, az po poslednu cifru. Ak das na prve miesto 0, tak potom obsadzujes len zvysne tri miesta a tam opat vyberas najskor zo 7 cisel, potom zo 6 cisel a na zaver z 5 cisel.
@lauriik ani tie čísla, ktoré sú deliteľné 2 nemôžeš jednoducho vydeliť dvomi, to nejde...
@dskjhfdlkdjhl práve preto som počítala bez nuly na začiatku. preto tam mám 6x6x5x4
a teda na prvej pozícii 6 čísel, lebo nulu nedávame. na druhej opäť 6, lebo na druhej pozícii už nula môže byť. no a potom 5 čísel na tretej a 4 na štvrtej.
@abbey1 info sú v poriadku. ak majú byť čísla deliteľné 4, musí byť posledné dvojčíslie deliteľné 4. nechápem, čomu nerozumieš. teraz už máš informácie úplné, vieš mi to teda prosím skontrolovať?
No, ale mas to spatne, pretoze Ty si nulu vylucila kompletne. Skus si poriadne precitat to moje vysvetlenie, potom skus vyriesit aj tie dalsie priklady. Netreba mlatit cisla hlava nehlava, treba premyslat, ako to funguje. Mas to vsetko kompletne spatne.
Este Ti poradim-pri delitelnosti dvomi si musis uvedomit, ze na mieste jednotiek mozu byt len parne cisla (0,2,4,6)-skus si urcit postupne, kolko je moznosti, ze na konci bude 0 a potom premysliet, ako to bude pre tie dalsie. Ak maju byt delitelne 5, tak na mieste jednotiek je 0, alebo 5, opat doporucujem postup ako pri del. dvomi. Pri delitelnosti styrmi si vypis ake mozu byt posl. dvocislia a opat si skus pre jedno konkretne napisat, ako to dopadne pre zvysne dve cifry a bacha, je rozdiel ci si uz 0 pouzila, alebo nie (to plati aj pri delitelnosti 2 a 5).
@dskjhfdlkdjhl nulu som vylúčila len na prvej pozícii. nemôžem dať na prvú pozíciu číslo 7, ale 6 (bez nuly). na ďalšiu pozíciu opäť 6, lebo jedno číslo mám už na prvej pozícii, ale na druhú môže ísť aj nula, preto tam bude opäť 6. na tretej potom 5 a potom 4. takto nám to učiteľka vysvetľovala. takže som z toho už blbec
a takisto nerozumiem, prečo by deliteľnými štyrmi nemohlo byť samotné číslo 4. prečo len dvojčíslia? lebo aj samotná štvorka (alebo 04 na konci) je deliteľná štyrmi. hm.
Ja sa ospravedlnujem, mam tam preklep-v tom prvom priklade je to 7.6.5.4-6.5.4, co je teda tiez tych 720. Ja som sa sustredila na to vysvetlenie a toto som si vsimla az teraz. A ano, da sa to pocitat aj tak, ako to v tom prvom priklade mas, ale osobne si myslim, ze je lepsie ist na to fakt tak postupne, ako som to rozpisala ja. Lebo dost cast to je tak, ze ak sa tam len namlatia cisla, tak potom sa tam nieco moze zabudnut, alebo naopak navyse pripocitat.
Co sa tyka deitelsnosti 4, samozrejme tam moze byt aj dvojcislie 04-neviem, ci Ti niekto napisal, ze nemoze, ak ano, to som si nevsimla. Vypis si vsetky mozne dvojcislia a potom dourci pocty tych ostatnych dvoch moznosti na prvych dvoch miestach.
Este Ti poradim tie delitelne 2. Ak je na konci 0, tak potom tam mas 6.5.4 moznosti. Ak na konci je 2, 4 alebo 6, tak potom si to mozes spocitat uplne ako v prvom priklade, ale pre trojciferne cislo. Cize napr. ak si dala na posledne miesto 2, tak na prve tri vyberas z cislic 0,1,3,4,5,6 a teda mas 6.5.4-5.4 moznosti, uplne rovnako to dopadne aj pre 4 a 6, takze mas v sucte: 6.5.4+3(6.5.4-5.4).
@dskjhfdlkdjhl som rada, že mám 1 v poriadku. čiže deliteľnosť dvomi je dobré rozpísať si zvlášť čísla, kde je na konci nula a zvlášť čísla, kde je na konci 2, 4 a 6.... nodočerta
Vygoogli si videa kombinácie, permututacie, variácie. Vypiš si vzorce a ktore sa kedy pouziva. To ti najviac pomoze podľa mňa. Kombinatorika je hrôza pre mna tiež akurát sme dcéru učili minulý týždeň ...
K tej 5ke.. podľa tých otázok hlavne 5b by som povedala,ze kvety budú iné, inak by tam bola možnosť iba 1. Ale teda neviem z je to podstatná informácia.
@aurelia2000 veď práve. ale spolužiačky tvrdia (ja chýbam, som chorá), že vraj to boli dosť vysoké čísla, šli až do tisícok. mne sa to tiež nezdá, no som magor :(
@simca06022011 áno, budem musieť. už len kvôli opakovaniu na začiatku septembra. ale čo ak je to inak a ona nás to učí zle?
@aurelia2000 prosím ťa pekne, ako vypočítam 8 "lomené" nula a desať "lomené" 5? lebo nás to neučila cez zlomky. ale cez nejaké pozície a fakt sa v tom mýlim. to tvoje 8/0 x 10/5 sa počíta ako zlomky? teda výsledok je v tom prípade 2? Ďakujem za vysvetlenie
budem si iste musieť pomôcť internetom. cez prázdniny si to pozriem a pozriem aj nejaké zbierky s riešeniami.
Nájdi si videa a uvidíš. Treba ti veľa príkladov prejsť aj s výsledkami, pre pochopenie. Dcéra toto napr s kvetmi mala v písomke teraz s gulickami ale mali dane jasne, ze ide o 2 farby...
Podľa vzorcov potom hneď uvidíš násobenie akom funguje.
To nie sú zlomky, ale kombinačne čísla. Ak ti to stačí zajtra...tak ti to pošlem komplet
Pri tých číslach, ktoré ti v úlohe 5 vyšli, sa paarí z lebku i mne. Ako si prišla k tým výpočtom?